Định nghĩa

Một điểm x {\displaystyle x} trong không gian metric ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} là giới hạn của dãy ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} nếu, với mọi ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} , tồn tại N {\displaystyle N} sao cho với mọi n ≥ N {\displaystyle n\geq N} , d ( x n , x ) < ε {\displaystyle d(x_{n},x)<\varepsilon } . Định nghĩa này trỏ thành định nghĩa cho số thực khi X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } và d ( x , y ) = | x − y | {\displaystyle d(x,y)=|x-y|} .

Tính chất

Với hàm số liên tục f bất kỳ, nếu x n → x {\displaystyle x_{n}\to x} thì f ( x n ) → f ( x ) {\displaystyle f(x_{n})\to f(x)} . Thực chất, hàm số f liên tục khi và chỉ khi nó bảo toàn giới hạn của dãy số.

Giới hạn của dãy số, nếu tồn tại, là duy nhất, do những điểm khác nhau cách nhau một khoảng dương. Nếu dãy số có hai giới hạn khác nhau, với ε {\displaystyle \varepsilon } nhỏ hơn một nửa khoảng cách giữa chúng, các số hạng của dãy không thể cách mỗi giới hạn một khoảng đều bé hơn ε {\displaystyle \varepsilon } .